[제어공학] 라플라스 변환표: 시험에 꼭 나오는 기본 함수 7가지 암기
반갑습니다. 테크/자격증 전문 블로거 AI.GO입니다.
전기기사나 전기산업기사 필기시험 중 ‘제어공학’과 ‘회로이론’ 과목에서 수험생들이 가장 먼저 마주하는 벽이 바로 ‘라플라스 변환(Laplace Transform)’입니다. 시간 함수 t를 복소수 함수 s로 바꾸는 이 과정은 미분방정식을 대수방정식으로 쉽게 풀기 위해 사용됩니다.
저 또한 비전공자로서 처음 0부터 무한대까지 적분하는 정의 식을 봤을 때, “이걸 시험장에서 다 계산해야 하나?”라며 덜컥 겁을 먹었습니다. 하지만 합격하고 보니, 기사 시험 수준에서는 정의 식을 이용해 직접 적분하는 문제는 거의 나오지 않습니다. 오직 ‘정해진 변환표를 암기하고 그대로 대입’하는 것이 합격의 지름길입니다.
오늘은 시험에 100% 출제되는 필수 라플라스 변환 함수 7가지와 주요 성질을 군더더기 없이 정리해 드립니다.
1. 라플라스 변환의 목적
복잡한 미분이나 적분을 사칙연산(더하기, 빼기, 곱하기, 나누기)처럼 쉽게 계산하기 위함입니다. 시간 영역(t)의 함수를 주파수 영역(s)으로 옮겨서 계산한 뒤, 다시 역변환하여 답을 구하는 과정이 핵심입니다.
2. 필수 암기 함수 7선 (라플라스 변환표)
시험장에서는 유도할 시간이 없습니다. 구구단처럼 바로 튀어나와야 합니다. 시간 함수 f(t)와 라플라스 변환된 함수 F(s)의 관계입니다.
| 구분 | 시간 함수 f(t) | 라플라스 변환 F(s) | 비고 |
|---|---|---|---|
| 1 | δ(t) (임펄스 함수) |
1 | 모든 주파수 성분 포함 |
| 2 | u(t) 또는 1 (단위 계단 함수) |
1 / s | 가장 기본이 되는 입력 |
| 3 | t (램프 함수) |
1 / s2 | 경사 함수 |
| 4 | tn | n! / sn+1 | n은 정수 (팩토리얼 사용) |
| 5 | e-at (지수 함수) |
1 / (s + a) | 부호 반대 주의 (-a → +a) |
| 6 | sin(ωt) | ω / (s2 + ω2) | 분자가 오메가(ω) |
| 7 | cos(ωt) | s / (s2 + ω2) | 분자가 에스(s) |
AI.GO의 암기 팁
- t의 차수: t가 하나 늘어날 때마다 s의 차수도 하나씩 늘어납니다. (1 → 1/s, t → 1/s2)
- 지수 함수: e-at는 무조건 s 대신 (s+a)를 대입한다고 생각하십시오.
- 삼각 함수: 분모는 둘 다 더하기(+)입니다. 분자가 헷갈릴 때는 “코코스(Cos-s)” 즉, 코사인은 s가 위에 있다고 외우면 편합니다.
3. 문제 풀이를 위한 핵심 정리 (변환 성질)
단순 함수 변환뿐만 아니라, 함수가 섞여 있을 때 사용하는 정리입니다. 실전 문제는 여기서 80% 이상 출제됩니다.
1) 복소 추이 정리 (Frequency Shifting)
지수함수 e-at가 곱해져 있으면, s 자리에 (s+a)를 대입합니다.
L[ e-at f(t) ] = F(s + a)
예시: f(t) = e-2tcos(3t)
기본 cos(3t)는 s / (s2 + 32)입니다. 여기서 s 대신 (s+2)를 넣으면,
정답: (s + 2) / { (s + 2)2 + 9 }
2) 미분 정리와 적분 정리
미분은 s를 곱하고, 적분은 s로 나눕니다. (초기값 0 가정)
- 미분: L[ df(t)/dt ] = s F(s)
- 적분: L[ ∫ f(t)dt ] = F(s) / s
3) 최종값 정리 (Final Value Theorem)
시간이 무한대로 갈 때(t→∞)의 값을 구합니다. 제어공학에서 오차를 구할 때 필수입니다.
lim (t→∞) f(t) = lim (s→0) s F(s)
주의할 점은 F(s)에 그냥 0을 넣는 것이 아니라, 반드시 앞에 s를 곱한 뒤 0을 대입해야 한다는 점입니다.
4. 실전 기출문제 확인
표만 외웠다고 끝이 아닙니다. 실제 문제에서 어떻게 적용되는지 확인해야 합니다. 아래 링크에서 ‘제어공학’을 선택하여 관련 문제를 풀어보십시오.
5. 결론 요약
정리해 드립니다.
- 가장 기본인 단위 계단 함수(1/s)와 램프 함수(1/s2)를 혼동하지 말 것.
- sin은 분자가 상수(ω), cos은 분자가 변수(s)임을 명확히 구분할 것.
- 지수함수(e)가 보이면 무조건 s 자리에 (s+부호반대)를 대입할 것.
라플라스 변환은 한 번만 제대로 외워두면 역변환(Inverse Laplace)이나 전달함수 문제까지 거저먹는 효자 파트가 됩니다. 오늘 정리해 드린 7가지 함수는 시험 직전까지 포스트잇에 적어두고 반복해서 보시길 권장합니다. 다음 포스팅에서는 전달함수 구하는 법에 대해 다루겠습니다.
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